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Radicales

Repaso de las potencias de exponente natural

Dado un número real a y un número natural no nulo n, se llama potencia n-ésima del número a, al producto de a por sí mismo:

en el recuadro, la n sobre los puntos suspensivos indica que la a aparece un total de n veces.

Ejemplo:   

Se representa así:  

El número a se llama base y el número n se llama exponente.

Propiedades de las potencias

Para multiplicar dos potencias de la misma base se suman los exponentes:  

Ejemplo:  \large \inline \bg_white 8^{9}\cdot 8^{6}=8^{9+6}=8^{15}

Para dividir dos potencias de la misma base se restan los exponentes:   \large \bg_white \frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}

Ejemplo: \large \bg_white \bg_white \frac{6^{7}}{6^{3}}=6^{7-3}=6^{4}

Para elevar una potencia a otra potencia multiplico los exponentes: \large \inline \bg_white \bg_white (a^{n})^{m}=a^{n.m}

Ejemplo: \large \inline \bg_white \bg_white (3^{3})^{2}=3^{3\cdot 2}=3^{6}

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias: \large \inline \bg_white \bg_white \bg_white \left ( a\cdot b \right )^{n}=a^{n}\cdot b^{n}

Ejemplo: \large \inline \bg_white \left ( 8\cdot 9 \right )^{3}=8^{3}\cdot 9^{3}

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias: \large \bg_white \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}

Ejemplo: \large \bg_white \left ( \frac{5}{4} \right )^{3}=\frac{5^{3}}{4^{3}}

Definición de radical

Dado el número real A y un número natural no nulo y mayor que uno n, se llama raíz n-ésima del número A, al número B que cumple Bn= A

Se escribe  \large \inline \bg_white \sqrt[n]{A}=B

El número A se llama radicando, el número n se llama índice, y el número B se llama raíz.

Según sea el signo del radicando y la paridad del índice, podemos distinguir cuatro casos:

Radicando positivo e índice par: existen dos raíces reales opuestas Radicando negativo e índice par: no existe ninguna raíz real Radicando positivo e índice impar: existe una raíz real que es positiva Radicando negativo e índice impar: existe una raíz real, que es negativa
\large \inline \bg_white \sqrt{81}=\pm 9 ;\large \inline \bg_white \sqrt[6]{64}=\pm 2  \inline \bg_white \bg_white \sqrt{-81}=No\;existe  \large \inline \bg_white \sqrt[3]{64}=4;   \large \inline \bg_white \sqrt[5]{32}=2 \large \inline \bg_white \sqrt[5]{-32}=-2;\large \inline \bg_white \sqrt[3]{-64}=-4

Aclaraciones:

  • Cuando el valor de un radical no es un número racional, se suele dejar de forma indicada.
  • Los radicales de índice 2 se llaman cuadráticos y se omite escribir el índice.

Propiedades de los radicales

Propiedad 1: El radical de un producto es igual al producto de los radicales: \large \inline \bg_white \sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}

Ejemplo: \large \inline \bg_white \sqrt[3]{5\cdot 4}=\sqrt[3]{5}\cdot \sqrt[3]{4}

Propiedad 2: El radical de un cociente es igual al cociente de los radicales: \large \bg_white \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

Ejemplo:  \large \bg_white \sqrt[3]{\frac{8}{3}}=\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{4}}

Propiedad 3: El radical de una potencia es igual a la potencia de un radical: \large \inline \bg_white \sqrt[n]{a^{m}}=\left ( \sqrt[n]{a} \right )^{m}

Ejemplo: \large \inline \bg_white \sqrt[5]{2^{4}}=\left ( \sqrt[5]{2} \right )^{4}

Propiedad 4: El radical de un radical es otro radical cuyo índice es el producto de los índices: \large \inline \bg_white \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}

Ejemplo: \large \inline \bg_white \sqrt[3]{\sqrt[4]{5}}=\sqrt[3\cdot 4]{5}=\sqrt[12]{5}

Propiedad 5: Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente del radicando por un mismo número, el valor del radical no varía:\large \inline \bg_white \sqrt[n]{a^{m}}=\sqrt[n\cdot h]{a^{m\cdot h}}

Ejemplo: \large \inline \bg_white \sqrt[3]{4^{5}}=\sqrt[3\cdot 3]{4^{5\cdot 3}}=\sqrt[9]{4^{15}} ;  \large \inline \bg_white \sqrt[8]{2^{6}}=\sqrt[8:2]{2^{6:3}}=\sqrt[4]{2^{3}}

Simplificación de radicales

Según la propiedad anterior (5) si en un radical, el índice y el exponente del radicando tienen un factor común, entonces podemos dividir ambos por dicho factor, obteniéndose un radical equivalente. A esta operación se le llama simplificación.

Ejemplo:   \large \inline \bg_white \sqrt[9]{15^{6}}=\sqrt[3]{15^{2}}

Ejemplo: Al simplificar puede ocurrir que el signo radical desaparezca  \large \inline \bg_white \sqrt[34]{5^{68}}=\sqrt[17]{5^{34}}=5^{2}

Extracción de factores de un radical

Como consecuencia de las propiedades (1) y (5), si el radicando se puede descomponer en factores de forma que alguno de los factores sea múltiplo del índice, entonces pueden sacarse fuera del signo radical.

Ejemplo: \large \inline \bg_white \sqrt[4]{a^{12}b^{9}c^{7}}=\sqrt[4]{a^{12}b^{8}bc^{4}c^{3}}=\sqrt[4]{a^{12}}\cdot \sqrt[4]{b^{8}}\cdot \sqrt[4]{c^{4}}\cdot \sqrt[4]{bc^{3}}=a^{3}b^{2}c\sqrt[4]{bc^{3}}

Ejemplo: \large \inline \bg_white \sqrt{6000}   debemos descomponer el 6000 en factores, con lo que se tendrá

\large \inline \bg_white \sqrt{2^{4}\cdot 3\cdot 5^{3}}=2^{2}\cdot 5\cdot \sqrt{3\cdot 5}=20\sqrt{15},  después se simplifica y acaba el ejercicio. El número que se queda

fuera del radical se llama coeficiente

Introducción de factores en un radical

Si un número está multiplicando a un radical, entonces puede introducirse como factor bajo el signo radical, para lo cual hay que elevarlo al índice

Ejemplo: \large \inline \bg_white 7\sqrt{2}=\sqrt{7^{2}\cdot 2}=\sqrt{49\cdot 2}=\sqrt{98}

Ejemplo: \large \inline \bg_white a^{4}b\sqrt[3]{b^{2}c}=\sqrt[3]{a^{12}b^{3}b^{2}c}=\sqrt[3]{a^{12}b^{5}c}

Reducción de radicales a índice común

Reducir varios radicales a índice común es convertirlos en otros radicales equivalentes que tengan el mismo índice.
Para ello se halla el mínimo común múltiplo M de los índices, el cual será el nuevo índice común. A continuación, cada radicando se eleva al resultado de dividir M por el índice respectivo. Esto es consecuencia de la propiedad (5).

Ejemplo: reducir a índice común \large \inline \bg_white \sqrt[5]{2^{3}}, \large \inline \bg_white \sqrt[3]{5}, \large \inline \bg_white \sqrt{7} El m.c.m. (2, 3, 5)= 30 ; 30:5=6 ; 30:3=10 ; 30:2=15. Por lo tanto, los radicales dados son equivalentes a: \large \inline \bg_white \sqrt[30]{\left ( 2^{3} \right )^{6}},  \large \inline \bg_white \sqrt[30]{5^{10}},  \large \inline \bg_white \sqrt[30]{7^{15}},  y éstos tienen el mismo índice.

Radicales semejantes

Son aquellos que, después de haber simplificado y extraído factores del radical, tienen el mismo índice y radicando.

Ejemplo: reducir a índice común \large \inline \bg_white \sqrt{48}  y  \large \inline \bg_white \sqrt{300}

\large \inline \bg_white \sqrt{48}=\sqrt{2^{4}\cdot 3}=2^{2}\cdot \sqrt{3}=4{\color{Red} \sqrt{3}}

 \large \inline \bg_white \sqrt{300}=\sqrt{2^{2}\cdot 3\cdot 5^{2}}=2\cdot5 \cdot \sqrt{3}=10{\color{Red} \sqrt{3}} 

Conclusión,  \large \inline \bg_white 4{\color{Red} \sqrt{3}}  y  \large \inline \bg_white 10{\color{Red} \sqrt{3}}   son semejantes ya que tienen en común el índice y el radicando.

Ejemplo: \large \inline \bg_white \sqrt[3]{54}  y  \large \inline \bg_white \sqrt[6]{256}  también son semejantes, pues

\large \inline \bg_white \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{2\cdot 3^{3}}={3\color{Red} \sqrt[3]{2}}

\large \inline \bg_white \sqrt[6]{256}=\sqrt[6]{2^{8}}=\sqrt[3]{2^{4}}={2\color{Red} \sqrt[3]{2}}

Suma y resta de radicales

Para sumar o restar varios radicales semejantes, se simplifican y se extraen factores fuera de los radicales respectivos. A continuación se suman o restan los coeficientes respectivos, multiplicando el resultado por el radical común.

Ejemplo:   \large \inline \bg_white \sqrt{20}+\sqrt{45}=\sqrt{2^{2}\cdot 5}+\sqrt{3^{2}\cdot 5}=2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}

Ejemplo:   \large \inline \bg_white \sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{250}=\sqrt[3]{2^{4}}-\sqrt[3]{2\cdot 5^{3}}=2\sqrt[3]{2}-5\sqrt[3]{2}=-3\sqrt[3]{2}

Si los radicales no son semejantes, la suma o resta se dejan indicadas.

Ejemplo: \sqrt{8}+\sqrt{12}-\sqrt{50}=\sqrt{2^{3}}+\sqrt{2^{2}\cdot 3}-\sqrt{2\cdot 5^{2}}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-5\sqrt{2}=2\sqrt{3}-3\sqrt{2}

Multiplicación y división de radicales

Para multiplicar o dividir varios radicales del mismo índice, se multiplican o dividen los radicandos, manteniéndose el mismo índice.

Ejemplo:    \sqrt[4]{3}\cdot\sqrt[4]{5}= \sqrt[4]{15}

Si los radicales no tienen el mismo índice, se reducen a índice común, y a continuación se aplica la regla anterior.

Ejemplo:   \sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[4]{3}= \sqrt[12]{2^{4}}\cdot \sqrt[12]{3^{3}}=\sqrt[12]{2^{4}\cdot 3^{3}}=\sqrt[12]{432}

Esto mismo se aplica en el caso de la división.

Racionalización de radicales

Cuando tenemos una fracción con radicales en el denominador, racionalizar es convertir la fracción en otra equivalente pero sin radicales en el denominador.

Estudiaremos tres casos:

  • El denominador es un radical cuadrático. Entonces se multiplican numerador y denominador por el mismo radical y se hacen las operaciones. Ejemplo:

\frac{9}{\sqrt{6}}=\frac{9\cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{9\cdot \sqrt{6}}{\left ( \sqrt{6} \right )^{2}}=\frac{9\cdot \sqrt{6}}{6}=\frac{3\sqrt{6}}{2}

  • El denominador es un radical de índice superior a 2. Entonces se multiplica el numerador y el denominador por un radical con el mismo índice que el que había y un exponente en el radicando que sume junto con el que ya había el valor del índice. Ejemplo:

\frac{3}{\sqrt[5]{2^{3}}}=\frac{3}{\sqrt[5]{2^{3}}}\cdot \frac{\sqrt[5]{2^{2}}}{\sqrt[5]{2^{2}}}=\frac{3\sqrt[5]{2^{2}}}{\sqrt[5]{2^{5}}}=\frac{3\sqrt[5]{2^{2}}}{2}

  • El denominador es una suma o diferencia de dos radicales cuadráticos. En este caso se multiplica el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador(a+b) es la expresión conjugada de (a-b) y (a-b) es la expresión conjugada de (a+b) – y, teniendo en cuenta la igualdad notable de la suma por la diferencia que equivale a la diferencia de cuadrados, habremos eliminado las raíces del denominador. Ejemplo: 

\frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{6\left (\sqrt{5}-\sqrt{2} \right )}{\left (\sqrt{5}+\sqrt{2} \right )\cdot \left (\sqrt{5}-\sqrt{2} \right )}=\frac{6\left (\sqrt{5}-\sqrt{2} \right )}{\left ( \sqrt{5} \right )^{2}-\left ( \sqrt{2} \right )^{2}}=2\left ( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right )

Potencias de exponente cero

Dado un número real a no nulo definimos la potencia de base a y exponente 0 así: a^{0}=1

Justificación:   1=\frac{a^{n}}{a^{n}}=a^{n-n}=a^{0}

Ejemplo:   a^{0}=1, (-3)^{0}=1,   4^{0}=1  y  \left (\frac{3}{5} \right )^{0}=1

Potencias de exponente entero negativo

Dado un número real a no nulo y un número entero negativo -n, definimos la potencia de base a y exponente -n así:

a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}       Justificación:    a^{-n}=a^{0-n}=\frac{a^{0}}{a^{n}}=\frac{1}{a^{n}}

Ejemplos:   5^{-3}=\frac{1}{5^{3}}=\frac{1}{125}  y  \left (-7 \right )^{-2}=\frac{1}{(-7)^{2}}=\frac{1}{49}

Potencias de exponente fraccionario positivo

Dado un número real a positivo y un número fraccionario \frac{m}{n}, definimos la potencia de base a y exponente \frac{m}{n}, así:a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}

Ejemplo:   a^{\frac{5}{2}}=\sqrt{4^{5}}=\left (\sqrt{4}^ \right )^{5}=2^{5}=32  y  \left ( \frac{8}{27} \right )^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}

Potencias de exponente fraccionario negativo

Dado un número real a positivo y un número fraccionario negativo -\frac{m}{n}, definimos la potencia de base a y exponente -\frac{m}{n},  así: a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}

Ejemplo:    16^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{16^{3}}}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}

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