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Factorizar polinomios

Introducción

Consiste en expresar un polinomio como producto de otros polinomios de menor grado. A la descomposición factorial de polinomios también se la denomina factorización de polinomios.

Para conseguir esta factorización se pueden usar varios procedimientos, ya sea por separado o combinándolos, a saber:

Sacar factor común

Sabemos por la propiedad distributiva del producto respecto de la suma que: y si esta expresión la leemos al revés, se tiene que: , expresión que se denomina sacar factor común.

Por tanto para sacar factor común, se debe buscar algún monomio que se repita en todos los sumandos del binomio o en general, de cualquier polinomio, y si existe, aplicamos la expresión anterior.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Si el factor común coincide con un término, al sacar el factor común el término valdrá 1.

Hay veces que para factorizar hay que sacar varias veces factor común.

Ejemplo 3:

Productos notables

Recordemos que los productos notables son:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

Fórmula de la ecuación de segundo grado

La expresión general de la ecuación de segundo grado es:

Para hallar las soluciones de la ecuación de segundo grado igualamos la expresión general a cero y aplicamos la fórmula

El número de soluciones de esta ecuación puede ser de dos, una o ninguna según el valor del radicando. Estudia el siguiente esquema:

Una vez hemos aprendido a calcular las soluciones de la ecuación de segundo grado, soluciones que también reciben el nombre de raíces, aprenderemos a factorizar la ecuación.

Las raíces son x1 y x2 y tendrán el siguiente valor:

Una vez tengamos toda esta información, podremos factorizar cualquier ecuación que tenga solución aplicando la siguiente expresión matemática:

Ejemplo 7 Factoriza la ecuación 3x2-x-2

Aplicando la ecuación de 2º grado tenemos:

y factorizando:

Observa la gráfica de la ecuación que acabamos de factorizar y verás que las raíces coinciden con los puntos de corte con el eje x. Ésto es así porque para resolver la ecuación de segundo grado la igualamos a cero, lo cual equivale a “preguntar a la ecuación”… ¿qué valores de x te anulan?. (Considera -0’67 = -2/3)

De la misma manera observa que estos dos valores de x además anulan los factores. Esto es muy importante que lo entendáis.

Ejemplo 8 Factoriza la ecuación x2+4x+4

Siguiendo el mismo procedimiento que en los pasos anteriores tendremos:

Observa la gráfica de la ecuación que acabamos de factorizar y verás que esta vez sólo corta al eje x por un punto, precisamente en el -2, el valor de la raíz que anula el factor… :-)

Ejemplo 9 Factoriza la ecuación 3x2+x+1

Observa la gráfica de la ecuación que acabamos de factorizar y verás que esta vez no corta al eje x por ningún punto, no se puede factorizar ni tiene solución la ecuación de 2º grado.

Método de Ruffini y Teorema del resto

La Regla de Ruffini: cuando hay que dividir un polinomio de x por un binomio de grado uno de la forma (x-a), donde a es un número real, se puede hacer utilizando el Método de Ruffini

Para que el Método de Ruffini se explique a si mismo os he preparado una animación:

Para aplicar este método hay que observar que el polinomio sea completo y en caso contrario debemos completar los grados que le faltan añadiendo ceros.

Si el resto es igual a cero entonces el divisor es factor del dividendo y es en ésto en lo que nosotros nos basaremos para poder factorizar polinomios. Observa las imágenes que vienen a continuación, porqué en ellas intento explicar lo que acabo de decir.

Teorema del Resto: dado un polinomio de x [P(x)], su valor numérico para x=a vale lo mismo que el resto de la división de P(x) entre x-a.

Demostración:

Ejemplo 10: Hallar el valor numérico del polinomio x3-7x2+5x+9 para x= 2, de dos formas diferentes

Antes de empezar, recordad que el valor numérico de un polinomio es el resultado de sustituir la variable por un valor y realizar las operaciones indicadas en el polinomio.

Factorizar aplicando el Teorema del Resto, consiste en probar con binomios de grado uno, cuyo término independiente sea divisor del término independiente del polinomio que queremos factorizar. Si el resto da cero, entonces el polinomio se convertirá en un producto de factores, por una parte el divisor y por otra el cociente.

Ejemplo 11:

Combinación de todos

Ahora, y para acabar el tema, vamos a realizar ejercicios donde combinaremos todo lo que hemos aprendido en el tema. En algunas ocasiones serán métodos únicos y en otras serán combinación de varios.

Ejemplo 12:

Ejemplo 13:

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